甲辰龙年中的数学

明天就是农历甲辰龙年大年初一了，大小吴在这里提前祝大家新年快乐！那么你知道甲辰龙年的“甲辰”是什么意思吗？今天我们来聊一聊中国传统的纪年法——天干地支纪年法及其背后的数学.

1 天干地支纪年法简史

我们在中学阶段学习历史时学过近代中国一些著名的事件，如“甲午战争”、“戊戌变法”、“辛亥革命”，这些词汇的前两个字“甲午”、“戊戌”、“辛亥”用到的就是天干地支纪年法.

天干地支纪年法，又称干支纪年法，是中国古代一种常用的纪年方法.天干地支纪年法从西汉开始萌芽（也有研究表明这套纪年法早在夏商时期就有了雏形），至王莽时期进一步推行，东汉至汉章帝始历朝历代都采用了这套方法作为官方纪年的标准.

2 干支纪年法的规则

那么，干支纪年法具体该如何操作呢？

这套纪年法由天干和地支两种符号组合而成，天干有甲（jiǎ）、乙（yǐ）、丙（bǐng）、丁（dīng）、戊（wù）、己（jǐ）、庚（gēng）、辛（xīn）、壬（rén）、癸（guǐ）10个符号，地支有子（zǐ）、丑（chǒu）、寅（yín）、卯（mǎo）、辰（chén）、巳（sì）、午（wǔ）、未（wèi）、申（shēn）、酉（yǒu）、戌（xū）、亥（hài）12个符号.

把10个天干符号和12个地支符号按照顺序分别写在上下两行并对应起来.举个例子，如果我们把某年记为干支纪年法的初始年，可以记它为【甲子】年，则明年就是【乙丑】年，后年是【丙寅】年……以此类推.

这样我们会发现，当记到【癸酉】年时，天干就不够用了，地支中的“戌”和“亥”会“多”出来.为了解决这个问题，就在第一行的后面重新补充一行天干，重复刚才的步骤进行配对.

同样地，地支不够用的时候，我们就在第二行的后面重新补充一行地支进行配对.

这个过程周而复始，直到重新匹配到【甲子】年.那么一个自然的问题是：从第一个【甲子】年开始，最少多少年后会再重新循环到【甲子】年呢？

实际上，这个问题就相当于：假设有个天干，个地支，将它们罗列成两行后可以完全对齐，也即：

即

则的最小正整数解为

而，也就是说，天干地支以60年为一个周期，它被称为“甲子”，俗称“六十一甲子”亦或“六十一花甲”，所以古时也称满六十岁的老人到了“花甲之年”.

敏锐的同学可能已经发现了，这是一个求10与12最小公倍数的问题.

2024年是甲辰龙年，根据干支纪年的规则，60年前的1964年也是甲辰龙年.

3 少了哪些情况？

可能你会想到一个问题，10个天干和12个地支如果自由组合，根据乘法原理将有120种组合.那么现在少掉的60种情况是哪些呢？

这个问题也并不困难，其实玄机蕴藏在干支纪年的规则中：正是由于在选取天干、地支元素时从【甲子】开始有了顺序的固定，元素选取的任意性遭到破坏，就不能直接用组合公式了：

更进一步地，我们将一个周期的天干地支展开来看，将会更加清楚.我们将目光固定在“甲乙”上，来看看地支是如何“平移”的：

我们发现，由于地支总是以2个为单位平移，奇数位的天干永远只对应奇数位的地支，偶数位的天干永远只对应偶数位的地支.这样也就不会出现什么“甲丑”年、“乙子”年了.根据这种奇偶性的原则，正好120种组合中会有一半的情况不会发生在干支纪年中.

参考文献

[1]何幼琦.干支纪年史的探讨[J].殷都学刊,1992(04):24-29.DOI:10.16140/j.cnki.ydxk.1992.04.007.

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